ᠬᠠᠷᠢᠭᠤᠯᠲᠠ 2019.1.20理数 （答案定稿） .pdf

理科数学答案 第 1 页 共 9 页 2019 年赤峰市高三期末考试试卷 理科数学参考答案 2 0 1 9 .1 说明 ： 一 、 本 解 答 给 出 了 一 种 或 几 种 解 法 供 参 考 ， 如 果 考 生 的 解 法 与 本 解 答 不 同 ， 可 根 据 试 题 的 主 要 考 查 内 容 比 照 评 分 标 准 制 订 相 应 的 评 分 细 则 ． 二 、 解 答 右 端 所 注 分 数 ， 表 示 考 生 正 确 做 到 这 一 步 应 得 的 累 加 分 数 ． 三 、 只 给 整 数 分 数 ， 选 择 题 和 填 空 题 不 给 中 间 分 ． 一 、 选择题 ： 本大题 共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 1.C ； 2 . D ； 3 .C ； 4 . A ； 5 . B ； 6 . D ； 7 .C ； 8 . A ； 9 .C ； 10 . B ； 11 . C ； 12 . B ． 二 、 填空题 ： 本大题 共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 . 1 3 ． 3 1 ； 14 . ( 0 , 2 )- ； 15 . 6 24 + ； 16 ． ÷ ø ö ç è æ - 2 1 , 4 1 2 e . 三 、 解答题 ： 共 70 分 。 解 答应写出文字说明 ， 证明 过程或演算步骤 。 17 . (1 2 分 ) 解 ：（ 1 ） 由题 意 ： 当 2≥n ， 11 2 - -= nn SSa ① \ nn SSa 2 11 -= + ② ② - ① 得 nn aa 2 1 = + )2≥( n ， 又 Q 11 2 - -= nn SSa )2≥( n … …… … …… 2 分 当 2=n 时 ， 121121 22 aaaSSa -+=-= \ 12 2 aa = ， 123 42 aaa == 又 Q 2 1 +a ， 2 2 +a ， 3 a 成等 差数 列 ， \ 312 2)2(2 aaa ++=+ aaa 42)22(2 11 ++=+ ， 解得 2 1 =a …… …… …… ……… …… … … … 5 分 \ { } n a 是以 2 为首 项 ， 以 2 为公 比的等 比数 列 ， \ )(2 * Î= Nna n n …… …… 6 分 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 22 1 -= +n n S … … ……… …… …… …… …… ……… …… 8 分 理科数学答案 第 2 页 共 9 页 = -- = ++ + )22) (22( 2 21 1 nn n n b 22 1 22 1 21 - - - ++ nn ……… …… …… …… …… … 10 分 + - - - + - - - = ) 22 1 22 1 () 22 1 22 1 ( 4332 n T … + ) 22 1 22 1 ( 21 - - - ++ nn 22 1 2 1 22 1 22 1 222 - -= - - - = ++ nn … …… …… …… …… … ……… …… 12 分 18 . (1 2 分 ) 解 ： （ 1 ） 1616.024.040 =+´ ）（ （ 个 ）， 这 4 0 个路 段 为中 度拥 堵的 有 1 6 个 … 3 分 （ 2 ） 设事 件 =A “ 一个 路段 严重拥 堵 ” ， 则 1.0)( =AP … … … …… … … … … 5 分 设事件 =B “ 至 少有 一个 路段 严重拥 堵 ” ， 则 2 7 1.09.01) )(1(1)(1)( 33 =-=--=-= APBPBP 所以 ， 早高 峰三 环以 内的 三个路 段至 少有 一个 是严 重拥堵 的概 率是 2 7 1.0 …… …… 7 分 （ 3 ） 根据 频率 分布 直方 图 可知 ， 此 人所 用时 间 X 的所 有可能 取值 为 ： 6 0,4 23 6,3 0,2 0 ， ， 则 X 的分 布列 为 ： X 2 0 3 0 3 6 4 2 6 0 P 0 1.0 4.0 4.0 1.0 … …… …… …… … ……… …… …… …… …… ……… …… …… …… … … … …… 9 分 所以 2.4 01.06 04.04 24.03 61.03 002 0)( =´+´+´+´+´=XE （ 分 钟 ） …… … 12 分 19 . (1 2 分 ) 解 ： （ 1 ） 设 椭圆 C 的标 准 方 程为 1 2 2 2 2 =+ b y a x , 依题 意得 ： ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì =+ = = + 222 22 2 3 co ss i n 1 cba a c b qq … 2 分 理科数学答案 第 3 页 共 9 页 解得 î í ì = = 1 2 b a ， 所以 椭圆 C 的标 准方 程为 2 2 1 4 x y+ = …… …… …… …… ……… 5 分 （ 2 ） 椭圆 C 的上 顶点 为 )1,0(M ， 设 直线 M A ， M B 的斜 率分 别为 1 2 ,k k 当直线 l 的斜 率不 存在 时 ， 设 mxl =: ， ÷ ÷ ø ö ç ç è æ --- ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - 4 1,, 4 1, 22 m mB m mA ……… 6 分 则 1 2 1 4 11 4 1 22 21 -=-= --- + -- =+ mm m m m kk ， 故 2m = ， 即 2x = 而 直线 2x = 与椭 圆 C 没有两 个交 点 ， 所以 不符合 题意 …… ……… …… …… …… …… 7 分 当直线 l 的斜 率存 在时 ， 设 )1(: ¹+= nnk xyl ， 1 1 ( , )A x y ， 2 2 ( , )B x y 由 2 2 1 4 x y y k x n ì + =ï í ï = + î ， 得 2 2 2 ( 1 4 ) 8 4 4 0k x k nx n+ + + - = …… …… …… … 8 分 可知 0)14(16 22 +-=D nk 成立 ， 且 1 2 2 8 1 4 k n x x k + = - + ， 2 1 2 2 4 4 1 4 n x x k - = + … … … … 9 分 ∴ 2 2 1 1 2 2 1 1 21 1111 x nk x x nk x x y x y kk -+ + -+ = - + - =+ 21 121212 )()( xx xnk xxxnk xx -++-+ = 21 2121 )) (1(2 xx xxnxk x +-+ = 1 1 2 )1) (1(4 )1(8 44 8888 2 22 -= + = -+ - = - +-- = n k nn nk n k nk nkk n …… …… …… … 11 分 ( 直线 l 不过 椭圆 C 的上 顶点 为 )1,0(M ， 所以 1¹n ) 即 1212 --=\--= knnk ， ， 0D ， 1)2(12 --=--=\ xkkk xy 理科数学答案 第 4 页 共 9 页 \ 直线 l 过定点 ( 2 , 1 )- … …… …… ……… …… …… …… …… ……… … 1 2 分 20. (1 2 分 ) （ 1 ） 证 明 ： 由图 1 知 ， 2 2A B B C C D= = ， 且 D 为 A B 中点 ， 又 D BA DC D ==Q ， \ 9 0A C BÐ = o ， 又 EQ 为 A C 的中 点 , D E\ ∥ B C ， 由 图 2 知 ， ,C E D E P E D E^ ^ , 且 =C E D E EI ， D E\ ^ 平面 C E P , B C ^ 平面 C E P ， 又 B C ÌQ 平面 B C P ， \ 平面 B C P ^ 平面 C E P ……… ……… …… …… … 4 分 （ 2 ） 因为 平面 D E P ^ 平面 B C E D , 平面 D EP I 平面 B C E D D E= ， E P Ì 平面 D E P E P D E^， ， 所以 E P ^ 平面 B C E D ， 又因为 C E Ì 平面 B C E D ， 所 以 E P C E^ ， 以 E 为坐 标原 点 ， 分 别 以 , ,E D E C E P u u ur u u ur u u ur 方 向为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴的正 方向 建立如 图 所示的 空间 直角 坐标 系 … ……… …… …… …… …… ……… …… …… …… … … … 5 分 设 2B C a= ， 则 4 , 2 3 , 3 ,A B a A C a A E C E a D E a= = = = = 所以 ( 0 , 0 , 3 ) , ( , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) ,P a D a C a B a a E ……… … 6 分 设 ( , , )F x y z ， B F B Cl= u u ur u u ur ， 而 ( 2 , 3 , ) , ( 2 , 0 , 0 )B F x a y a z B C a= - - = - u u ur u u ur 所以 2 2 3 0 0 x a a y a z l- = -ì ï - = í ï = î ， 所 以 ( 2 2 , 3 , 0 )F a a al- ……… …… … ……… …… …… 7 分 因为 C E ^ 平面 P D E ， 所以 ( 0 , 3 , 0 )C E a= - u u ur 为平 面 P D E 的法向量 …… … … 8 分 理科数学答案 第 5 页 共 9 页 设平面 P D F 的法 向量 为 1 1 1 ( , , )m x y z= u r ， 而 ( , 0 , 3 ) , ( 2 2 , 3 , 3 )P D a a P F a a a al= - = - - u u ur u u ur ， 则 0 0 m P D m P F ì × = ï í × = ï î u r u u ur u r u u ur ， 即 1 1 1 1 1 3 0 ( 2 2 ) 3 3 0 a x a z a a x a y a zl ì - = ï í - + - = ï î ， 令 1 1z = ， 则 1 3 , 2 1x y l= = - ， 所 以 ( 3 , 2 1 , 1 )m l= - u r ……… …… …… … … 9 分 因为二 面角 E P D F- - 为直 角 ， 所以 0C E m× = u u ur u r ， 即 1 0 3 3 ( 2 1 ) 0 , 2 a l l´ - - = \ = ， ( , 3 , 0 )F a a\ 为 B C 的中点 …… …… … … … 10 分 设平面 P B D 的法 向量 为 2 2 2 ( , , )n x y z= r ， 而 ( 2 , 3 , 3 ) , ( , 0 , 3 )P B a a a P D a a= - = - u u ur u u ur ， 则 0 0 n P B n P D ì × = ï í × = ï î r u u ur r u u ur ， 即 ï î ï í ì =- =-+ 03 0332 22 222 azax azayax 令 2 3x = ， 则 2 2 1 , 1y z= - = ， 所 以 ( 3 , 1 , 1 )n = - r ……… …… ……… … … … 1 1 分 而 ( , 3 , 3 )P F a a a= - u u ur 2 3 3 3 1 0 5 s i n c o s , 3 5 5 7 n P F a a a n P F n P F a q × - - \ = = = = × r u u ur r u u ur r u u ur \ P F 与 平面 P B D 所成 角的 正弦 值为 1 0 5 3 5 ……… … … …… …… … … … …… … 1 2 分 21 . （ 1 2 分 ） 解 ： （ 1 ） 因为 ( )xf 为偶 函数 ， 当 0- x 所以 ( ) ( ) ( ) xx exfexfxf -- =-=-= ' , 理科数学答案 第 6 页 共 9 页 设切点 坐标 ( ) 00 , yx ， 则 切线 斜率 ( ) 0 0 ' x exfk - == 所以切 线方 程为 ( ) 00 0 xxeyy x -=- - ， 即 ( ) 0 00 xxeey xx -=+ -- 又切线 过原 点 ， 得 ( ) 0 00 xee xx -= -- ekx =-=\ ,1 0 所以过 原点 与函 数 ( )xf 图像相 切的直 线方 程为 0=- ye x …… … … … … 5 分 （ 2 ） 由题 意可 知 ， ( ) ï î ï í ì xg ， 函 数 ( )xg 单调递 增 当 ( )3, -¥-Îx ， ( ) 0 ' +-=- eeg 可见 ， 方程 ( ) 0=xg 在 ( ]2,¥- 有唯一 零点 ( )4,5 0 --Îm ， 理科数学答案 第 7 页 共 9 页 且当 ( ] 0 , mx ¥-Î 时 ( ) 0³xg ， 当 ( ]2, 0 -Î mx 时 ( ) 0+= +x eext ， 故 ( )xt 在 [ ]1,2 --Îx 单调 递增 所以 ， ( ) ( ) 01 =-£ txt ， 所以 e xe x ³- + 2 成立 . 当 02 xf 的解 集为 1 1 4 2 x x ì ü ， ï ï ï î ï ï ï í ì ³++- --+ -£-- =--+= 3 ,2 3 ,4 ,2 3)( b xbax b xabax axbax bxaxxf \ 当 3 b x = 时 ， 5 33 )( m a x =+= ÷ ø ö ç è æ = a bb fxf 1 1 1 1 1 1 1 4 4 + 2 3 2 + = 1 5 5 1 5 1 5 5 5 7 5 1 5 1 5 b a b a a b a b a b æ ö æ ö \ + = + + = + + + ³ ç ÷ ç ÷ è ø è ø 理科数学答案 第 9 页 共 9 页 当且仅 当 22 1 55 ab = ， 即 22 3 ab = 时 ， 取 等号 . 1 1 a b \ + 的最小 值为 4 + 2 3 1 5 …… …… … … ……… …… … … …… …… … …… …… 10 分